SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH



KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25 /6/2011


Câu 1. a) Giải phương trình:
.
b) Giải hệ phương trình:
.
Câu 2. a) Cho a, b, c là các số thực khác 0, thỏa mãn:
.
Tính tổng
.
b) Tìm tất cả các số nguyên
thoả mãn:
.
Câu 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
b) Tìm các giá trị a, b sao cho:
.
Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính BC cố định, A là một điểm thuộc đường tròn (A không trùng B, C). H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N.
Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHM và CHN.
Xác định vị trí của điểm A để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN lớn nhất.
Câu 5. Lấy 2011 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2015 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác ban đầu là
. Chứng minh rằng: tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2015 điểm đã cho có diện tích không vượt quá
.
− Hết −

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh……………………………………….. Số báo danh………..



HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THPT CHUYÊN 2011 - 2012


Câu
NỘI DUNG
Điểm

Câu 1
a)
Giải phương trình:
(1)
Điều kiện xác định

Khi đó (1)



Đối chiếu điều kiện ta thấy thoả mãn.
Tập nghiệm của phương trình là




b) Giải hệ phương trình:
.
Đặt
. Ta có hệ

+) Với
ta có

+) Với
(vô nghiệm)


Câu 2
Chứng minh: Nếu
thì
(1)
Ta có:



Do
ta có

Theo (1) suy ra






Ta có:
(1)

(2)
Từ (2) suy ra:
và
. Vì
nguyên nên
.
+)
,
(3)
Từ (3) suy ra

Với y = 0, (3) không có số nguyên
nào thỏa mãn. .
Với
, từ (3) suy ra
.
Với
, (3) không có số nguyên
nào thỏa mãn.
+)
(4)
Từ (4) suy ra
, (4) không có số nguyên nào thỏa mãn.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên
là





Câu 3
a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Điều kiện





Dấu = xảy ra khi
. Khi đó F đạt GTNN bằng - 2.



b) Điều kiện:
.
Từ giả thiết suy ra:
(1)
Ta có:
(2)

(3)
(4)
Nhân theo vế (2), (3) và (4) ta có

Suy ra
(5)
Từ (1) và (5) ta có dấu “=” ở (2), (3) và (4) xảy ra đồng thời
Dấu = xảy ra khi




Câu 4
a) Ta có:

Suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CHN. Tương tự MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHN.



- Chứng minh được BMNC nội tiếp
- Gọi E là giao điểm các đường trung trực của MN và BC, khi đó E là tâm đường tròn ngoại tiếp t/g BMNC.
- Chứng minh được AIEO là hình bình hành, suy ra: OE = AI =
AH.
- Do BO là hằng số nên EB lớn nhất khi OE lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất, suy ra A nằm chính giữa cung BC.



Câu 5
Xét tứ giác ABCD có diện tích bằng 1.
- Với điểm thứ nhất M, ta có 4 tam giác đôi một không có điểm trong chung.
- Điểm thứ hai N phải là điểm trong của một trong 4 tam giác chung đỉnh M. Nối N với 3 đỉnh của tam giác đó, tạo nên 3 tam giác tuy nhiên số tam giác đôi một không có điểm trong chung chỉ tăng thêm 2 vì mất đi tam giác chứa điểm